電源が入って10秒以内に落ち、BIOSも出ないとなると、PCが「起動に必要な最小限の構成チェック（POST）」に失敗して、保護機能が働いている可能性が高いです。SSDがないのはOSが起動しない理由になりますが、BIOSすら出ない原因にはなりません。
この「10秒で落ちる」という症状、パーツの構成から推測すると、以下の順で疑うのが定石です。
メモリの接触不良（最も多い原因）
メモリの金色の接点部分が酸化していたり、埃で接触不良を起こすとBIOSすら起動しません。一度全部抜き、接点を柔らかい消しゴムで軽く掃除して、しっかり「カチッ」と音がするまで挿し直してください。1枚だけ挿して試すのも有効です。
マザーボードのボタン電池切れ
Z77マザーボードだと、CMOS保持用のCR2032電池が限界を迎えている可能性があります。電池が切れているとBIOS設定が読み込めず、起動プロセスでループすることがあります。100円で買えるので、まずはこれを新品に交換してください。
水冷クーラーのポンプ異常（熱暴走）
起動した瞬間にCPUが熱を持ち、温度センサーが異常を検知して強制終了している可能性があります。ポンプが「ウィーン」と回っているか、ヘッドが異常に熱くなっていないか確認してください。
電源ユニットの劣化
700Wあっても、内部のコンデンサが経年劣化していると電圧が安定しません。マザーボードに電力を供給する途中で電圧が下がり、保護回路が働きます。
マザーボードの故障
i7-3770K世代（Z77）のマザーボードは、特に電解コンデンサの液漏れや膨らみが起きやすい時期です。目視でコンデンサの頭が膨らんでいないか確認してください。
まず以下の手順で切り分けてみてください。
ステップ1: メモリを全て抜き、掃除して1枚だけ挿して起動する。
ステップ2: マザーボードのボタン電池を新品に交換し、CMOSクリア（ジャンパピンまたは電池抜き）を行う。
ステップ3: グラフィックボード（GTX 900台など）を一度抜き、CPU内蔵グラフィックスで出力できるか試す。
これで起動すれば、グラボか電源の供給不足が確定します。
この構成で「10秒で落ちる」場合、十中八九は「メモリ接触不良」か「ボタン電池切れによるBIOS設定の迷走」のどちらかです。これらで改善しない場合、初めて「電源ユニット」や「マザーボード本体」の故障を疑うのが、無駄な出費を抑えるコツですよ。
コンデンサが膨らんでいないのは不幸中の幸いですね！i7-3770K世代のマザーボードでコンデンサが無事なら、まだまだ心臓部は生きている可能性が高いです。
CR2032の交換と併せて、以下の「物理的な最小構成」での起動テストもぜひ試してみてください。
最小限で起動: グラフィックボードを抜き、メモリも1枚のみにして、キーボードやUSB機器も外した状態で電源を入れてみてください。これでBIOS画面まで辿り着けるかどうかが、切り分けの鍵です。
マザーボードの「CMOSクリア」: 電池を交換する際、電池を抜いた状態で電源ボタンを何度か押し、回路内の電気を完全に放電してから電池を入れ直すと、BIOSがクリーンな状態でリセットされます。
もしこれらでBIOSが出てくるなら、その後でSSDを調達してOSを入れれば、またメイン級のデスクトップとして復活します。まずはその一歩目として、電池交換がうまくいくことを願っています！
もし電池交換しても同じ症状（10秒で落ちる）が続くようなら、電源ユニットの出力異常か、マザーボード上のチップの劣化が疑われますが、まずは焦らずその順番で攻めてみてください。また進展があれば教えてください。